主題一 圓的方程式
1.圖的定義：
設平面上有一定點A，一正數r，則平面上所有到A點距離為r的P點，所形成的圖形稱為圓。此定點A稱為圓心，正數r稱為半徑。
2.圓的方程式
1.標準式：
以A(h，k
)為圓心，r為半徑的圓方程式為
2.一般式：凡形如
的二元二次方程式，其中令
為圓的判別式。
(1)當
>0時，圖形為一圓，且圓心為
，半徑=
(2)當=0時，圖形為一點
(3)當<0時，沒有圖形
3.直徑式：
在坐標平面上以
為一直徑之兩端點的圖方程式為
4.參數式：
以A(h，k)為圓心，r為半徑的圓參數式為
精選範例
題型一 圓方程式
ex1.
設
，方程式
之圖形為一圓。
(1)m之範圍為___ (2)若當m=a時，此圓有最大半徑為b，則a=___，b=____
doing
1.就m值討論方程式
所表之圖形。
<<>> (1)m > 2
或m<-2時為一圓
(2)
時為一點
(3) -2<m<2時沒有圖形
2.設
，若
表一圓，求
之範圍
<<>
3.
為實數，因
的圓心，在一直線上，此直線方程式為_____
<<>> x – 2 y + 4 = 0
ex2.
(1)
圓心在
上且過點(1，5)，(-1，3)之圓方程式
(2)
以
為直徑兩端點的圓方程式。
(3) 一圓和兩直線x+3y-5=0及x+3y-3=0相切，且圓心在直線2x+y=0上，試求此圓的方程式
(4)
已知
為圓C之一弦，此弦與圓心之距離為
，求圓C的方程式
DOING
4.試求滿足下列各條件之圓的方程式
(1)以點(3，-2)為圓心，且和直線2x+y+1=0相切
(2)以(3，2)，(-5，-4)為直徑的兩端點
(3)過點(2，-3)，圓心在直線x+y+2=0上，半徑為
(4)過點(-3，4)，(-7，2)，半徑
(5)過點(5，1)，(3，-1)，圓心在直線x+2y=3上
(6)圓心在x+y=0上且切直線3x+y=4於點(3，-5)
<<>> (1)
(2) 
(3)
(4) 
(5)
(6) 
ex3.
(1)
試求由三直線
圍成一個三角形ABC的外接圓方程式
(2)
中，
，試求的內切圓方程式
DOING
5.A(3，2)，B(1，-1)，C(-2，1)，D(0，k)四點共圓，求k值
<<>> 4 或 -1
6.
中，
求之內切圓的方程式
<<>>
7.己知三直線
圍成一個三角形，求此三角形的外接圓方程式
<<>>
8.設正內接於圓
，O是原點，試求
(1)
重心坐標
(2) 
<<>> (1) (-4，3) (2) 15
9.試求圓
之內接正三角形，內接正方形，內接正六邊形，外切正三角形，外切正六邊形之面積
<<>>
ex4.
(1) 求過點(1，2)且與x軸，y軸均相切的圓之方程式
(2) 一圓過二點(1，2)，(3，4)且x軸上截距之差為6，求此圓的方程式
DOING
10.一圓與y軸相切點(0，4)，又其x軸截距之差為6，試求此圓之方程式。
<<>>
or 
ex5.
求通過兩圓
之交點且圓心在直線2x+y=5上的圓方程式
doing
11.設直線與圓C相交於A，B二點，則通過A，B二點及原點的圓方程式為_____
<<>>
題型二 圓的軌跡方程式
EX6.
設A(-9，0)，B(-1，0)，求滿足
之點p的軌跡方程式的圓方程式
doing
12.設A(-1，0)，B(2，3)，若點P滿足
，則P之軌跡方程式為_____
<<>>
EX7.
設圓
A(4，5)在圓C內
(1) 試求圓C中過點A之一切弦之中點所成圖形方程式
(2)
設P點在圓C上，求
中點所成圖形方程式
DOING
13.設點A(1，0)為圓
內之一點，求過點A的所有弦之中點所形成圖形的軌跡方程式
<<>>
14.設A(6，4)在圓內，若P為圓
上任意點，試求的中點所成圖形之方程式
<<>>
EX8.
設
為平面上兩點，動點P在線段
上，設點
在線段上，設點在y軸的右側，且O，P，三點共線，並滿足
，其中O為原點。已知的軌跡在一圓C上，則圓C的圓心坐標為______
DOING
15.對任意實數k，y+kx-2k=0，ky-x-2=0之交點軌跡之方程式為何
<<>>
但點(2，0)除外
ex9.
xy平面上有三個圓
，設
的方程式為
(1)
若
與對稱於直線3x+y-4=0，試求的方程式
(2)
若
係將平行於直線2x-y+3=0向左下方移動
單位長而得的，試求的方程式
doing
16.同一坐標平面上四個圓
，己知
(1)
與關於點(1，3)成對稱，求之方程式
(2)
與關於直線成對稱，求之方程式
(3)
為順
方向平移
單位長，求之方程式
<<>> (1)
(2) 
(3) 
題型三 圓的參數式
ex10.
參數式
所表圖形為何
doing
17.參數式
，所表圖形為何
<<>>
18.參數式
所表之弧長=_____
<<>>
ex11.
設A(2，-4)，B(4，0)及圓
，若點P(a，b)在圓上，求
(1)
面積的最小值
(2)ab的最小值
doing
19.設
且
，求x
– 2y + 5的範圍
<<>>
20.設P(a，b)在圓
上，點Q(c，d)在圓
上，試求
(1)ab-cd的最大、最小值
(2)ac – bd的最大、最小值
(3)
的中點所成區域之面積與周長
<<>> (1) 17;-17 (2) 15;-15 (3)15
;10
題型四 圓的作圓與面積
EX12.
(1)試作
之圖形，又
之最大值為
(2)試作
之圖形
21.在坐標平面上，試作下列各方程式之圖形：
(1)
(2) 
<<>> (1)
的下半圓
(2)
的右半圓
22.試繪
之圖形，並求其所圍之面積
<<>>
23.圓內之格子點有幾點
<<>> 81
ex13.
設方程式
在坐標平面上圖形為
，試求之周長及所圍區域之面積
doing
24.求
所表圖形之面積
<<>>
ex14.
令
，則
(1)S之周長為_____。
(2) S所圍成區域的面積為_____
doing
25.設
，
，令
，試求R的面積
<<>>
EX15.
繪圖表示不等式
所表之區域，並求其面積
DOING
26.(1)不等式
所表區域之面積為_____
(2)
不等所表區域之面積為_____
<<>> (1)
(2) 2
27.設區域
，作出
的圖形，並求其面積及周長
<<>>
28.求
所表區域的面積及周長
<<>>
