主題一 圓的方程式

1.圖的定義:

  設平面上有一定點A,一正數r,則平面上所有到A點距離為rP點,所形成的圖形稱為圓。此定點A稱為圓心,正數r稱為半徑。

2.圓的方程式

  1.標準式:

   A(hk )為圓心,r為半徑的圓方程式為

  2.一般式:凡形如的二元二次方程式,其中令為圓的判別式。

    (1)>0時,圖形為一圓,且圓心為,半徑=

    (2)=0時,圖形為一點

    (3)<0時,沒有圖形

  3.直徑式:

   在坐標平面上以為一直徑之兩端點的圖方程式為

  4.參數式:

   A(hk)為圓心,r為半徑的圓參數式為

精選範例

題型一 圓方程式

ex1.

,方程式之圖形為一圓。

  (1)m之範圍為___   (2)若當m=a時,此圓有最大半徑為b,則a=___b=____

doing

1.m值討論方程式所表之圖形。

<<>>  (1)m > 2 m<-2時為一圓   (2)時為一點    (3) -2<m<2時沒有圖形

2.,若表一圓,求之範圍

<<>

3.為實數,因的圓心,在一直線上,此直線方程式為_____

<<>> x – 2 y + 4 = 0

ex2.

(1)   圓心在上且過點(15)(-13)之圓方程式

(2)   為直徑兩端點的圓方程式。

(3)   一圓和兩直線x+3y-5=0x+3y-3=0相切,且圓心在直線2x+y=0上,試求此圓的方程式

(4)   已知為圓C之一弦,此弦與圓心之距離為,求圓C的方程式

DOING

4.試求滿足下列各條件之圓的方程式

 (1)以點(3-2)為圓心,且和直線2x+y+1=0相切

 (2)(32)(-5-4)為直徑的兩端點

 (3)過點(2-3),圓心在直線x+y+2=0上,半徑為

 (4)過點(-34)(-72),半徑

 (5)過點(51)(3-1),圓心在直線x+2y=3

 (6)圓心在x+y=0上且切直線3x+y=4於點(3-5)

<<>> (1)    (2)

     (3)    (4)

     (5)    (6)

ex3.

(1)   試求由三直線圍成一個三角形ABC的外接圓方程式

(2)   中,,試求的內切圓方程式

DOING

5.A(32)B(1-1)C(-21)D(0k)四點共圓,求k

<<>> 4 -1

6. 中,之內切圓的方程式

<<>>

7.己知三直線圍成一個三角形,求此三角形的外接圓方程式

<<>>

8.設正內接於圓O是原點,試求 

   (1) 重心坐標    (2)

<<>> (1) (-43)   (2) 15

9.試求圓之內接正三角形,內接正方形,內接正六邊形,外切正三角形,外切正六邊形之面積

<<>>

ex4.

(1)   求過點(12)且與x軸,y軸均相切的圓之方程式

(2)   一圓過二點(12)(34)x軸上截距之差為6,求此圓的方程式

DOING

10.一圓與y軸相切點(04),又其x軸截距之差為6,試求此圓之方程式。

<<>> or

ex5.

求通過兩圓之交點且圓心在直線2x+y=5上的圓方程式

doing

11.設直線與圓C相交於AB二點,則通過AB二點及原點的圓方程式為_____

<<>>

題型二 圓的軌跡方程式

EX6.

A(-90)B(-10),求滿足之點p的軌跡方程式的圓方程式

doing

12.A(-10)B(23),若點P滿足,則P之軌跡方程式為_____

<<>>

EX7.

設圓A(45)在圓C

(1)   試求圓C中過點A之一切弦之中點所成圖形方程式

(2)   P點在圓C上,求中點所成圖形方程式

DOING

13.設點A(10)為圓內之一點,求過點A的所有弦之中點所形成圖形的軌跡方程式

<<>>

14.A(64)在圓內,若P為圓上任意點,試求的中點所成圖形之方程式

<<>>

EX8.

為平面上兩點,動點P在線段上,設點在線段上,設點在y軸的右側,且OP三點共線,並滿足,其中O為原點。已知的軌跡在一圓C上,則圓C的圓心坐標為______

DOING

15.對任意實數ky+kx-2k=0ky-x-2=0之交點軌跡之方程式為何

<<>> 但點(20)除外

ex9.

xy平面上有三個圓,設的方程式為

(1)   對稱於直線3x+y-4=0,試求的方程式

(2)   係將平行於直線2x-y+3=0向左下方移動單位長而得的,試求的方程式

doing

16.同一坐標平面上四個圓,己知

  (1) 關於點(13)成對稱,求之方程式

  (2) 關於直線成對稱,求之方程式

  (3)方向平移單位長,求之方程式

<<>> (1)     (2)    (3)

題型三 圓的參數式

ex10.

參數式所表圖形為何

doing

17.參數式,所表圖形為何

<<>>

18.參數式所表之弧長=_____

<<>>

ex11.

A(2-4)B(40)及圓,若點P(ab)在圓上,求

  (1)面積的最小值   (2)ab的最小值

doing

19.,求x – 2y + 5的範圍

<<>>

20.P(ab)在圓上,點Q(cd)在圓上,試求

  (1)ab-cd的最大、最小值   (2)ac – bd的最大、最小值   (3)的中點所成區域之面積與周長

<<>>  (1) 17;-17  (2) 15;-15  (3)15;10

題型四 圓的作圓與面積

EX12.

 (1)試作之圖形,又之最大值為   (2)試作之圖形

21.在坐標平面上,試作下列各方程式之圖形:

   (1)     (2)

<<>>  (1) 的下半圓       (2)的右半圓

22.試繪之圖形,並求其所圍之面積

<<>>

23.內之格子點有幾點

<<>>  81

ex13.

設方程式在坐標平面上圖形為,試求之周長及所圍區域之面積

doing

24.所表圖形之面積

<<>>

ex14.

,則

  (1)S之周長為_____   (2) S所圍成區域的面積為_____
doing

25.,令,試求R的面積

<<>>

EX15.

繪圖表示不等式所表之區域,並求其面積

DOING

26.(1)不等式所表區域之面積為_____

   (2)不等所表區域之面積為_____

<<>> (1)    (2) 2

27.設區域,作出的圖形,並求其面積及周長

<<>>

28.所表區域的面積及周長

<<>>