主題二:

機率的性質

 

重點式觀念導引

 

題型一   機率三大基本問題

題型二   排列組合與機率

1.      Laplace的機率定義(古典定義)

S為一樣本空間,設基本事件出現之機會均等,定義事件A之機率

2.      優勝率:設, A 之優勝率=

3.      古典機率性質:設S為樣本空間,

(1)   P(S)=1, P() = 0

(2)  

(3)  

(4)  

        (5)

精 選 範 例

題型一  機率三大基本問題

(1)   硬幣問題---用排列---視各硬幣不同---可能情形

(2)   骰子問題---用排列---視各骰子不同---可能情形

(3)   摸球問題---用組合---視各球不同---可能情形

====== 例題1==================================================

樣本空間S={1 , 2... , 10},單一事件之機率有如下關係:

,則
 

   馬上演練


1. 設A , B 表示二事件且,則:

(1) P ( A ) =?
  (2) P ( B ) =?  (3) P ( A B ) =?
 

  <<答案>> (1)   (2)  (3)
 

2. 設A , B , C 為樣本空間S之三事件,如,

,求:

(1)   三事件至少發生一件的機率  (2) 三事件至少發生二件的機率 (3) 三事件均不發生的機率
 

    <<答案>> (1)   (2)  (3)
 

====== 例題 2==================================================

投擲5個硬幣,求:

(1)    恰有3個正面出現的機率 (2)至少3個正面出現的機率
 

   馬上演練


3. (1)擲出四個硬幣,出現正反面各兩個的機率為_______

    (2)擲出七個硬幣,出現奇數個正面的機率為_______

    (3)每次擲出兩枚硬幣,共五次,第一、三、五均為二正面,而第二次均為一正面一反面的機率為___

    <<答案>> (1)   (2)  (3)
 

====== 例題3==================================================

 同時投擲三粒公正的骰子,則:

(1)   三粒出現點數和為10的機率

(2)   恰好二粒出現相同點數的機率

(3)   出現的點數互不相同的機率為______

 

   馬上演練


4. 擲出兩個骰子,求下列各機率

點數

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

機率

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    <<答案>>

 

5. 同時擲出三粒骰子,求:

(1)   出現點數和9的機率.

(2)   三粒出現點數和為4之倍數的機率

(3)   三粒出現點數和為5之倍數的機率

    <<答案>> (1)   (2)  (3)
 

6.四骰子擲一次得12點的機率為_____

    <<答案>> (1)   
 

====== 例題4==================================================

一骰子擲三次,順次出現點,求下列各機率

(1)

(2)

(3)

 

   馬上演練


7. 投擲A , B 兩顆公正之骰子,求以下各情形之機率:

(1)A , B 兩顆骰子點數相同

(2)A的點數大於B之點數

(3)A的點數小於B之點數

    <<答案>> (1)   (2)  (3)
 

8. 連擲一公正骰子三次,第一次a點,第二次b點,第三次c點:

 (1)求a b + c = 0 之機率

 (2)求方程式之二根均為整數的機率

    <<答案>> (1)  (2)
 

====== 例題5==================================================

同時擲出三顆骰子,令A表恰有一顆為5點的事件,B表恰有一顆為6點的事件,則
(1)
  (2)=_____
 

   馬上演練


9. 一骰子擲三次,A表第一次為偶數點事件,B表第二次為偶數點事件

(1)      (2)

    <<答案>> (1)  (2)
 

10. 擲一骰子六次,第k次不為k點 ( k = 1 ~ 6 ) 的機率為何

    <<答案>> (1)
 

====== 例題6==================================================

袋中有3個紅球,4個白球,5個黑球,從袋中任意取三個球,求下列機率:

(1)   三球為異色球 (2) 三球為同色球 (2)取出2個白球及其他顏色的球一個

(4)   三球中,至少有二個黑球
 

   馬上演練


11. 袋中有5個紅球,4個白球,3個黑球

(1)任取二球為同色的機率         (2)任取出三球,則三球皆異色的機率

    <<答案>> (1)  (2)
 

12. (1)從五男三女中,任選三人組成一小組,恰為二男一女的機率?

      (2)袋中有5白球,3紅球,任意摸出三球,得二白一紅的機率為何?

    <<答案>> (1)  (2)
 

13.一袋中有相同式樣的黑襪3雙,紅襪2雙,自袋中任意取出4隻,則4隻恰為2雙的機率多少? 
    <<答案>> (1)
 

14.一袋中有白球3個 ( 標記1 , 2 , 3 ),紅球5個 ( 標記1至5號 ),黑球6個 ( 標記1至6 ),今任意摸出二球,求下列各機率:

 (1)同色 (2)不同色 (3)同號 (4)不同號

    <<答案>>(1)  (2)  (3)   (4)
 

15. 袋中有10個紅球,7個白球,5個藍球,從袋中任意取4個球,求此4個球為三種顏色的機率 
    <<答案>> (1)
 

====== 例題7==================================================

箱中有30個球,其中n個紅球,n個黃球,10個黑球,m個白球,設抽到紅球得頭奬、黃球得二奬、黑球得三奬、白球無奬,今自箱中任取出三球,如三球為同色球,且中奬球之機率己知為,試求:

(1)時,紅球、白球之個數各為何?

(2)三球中至少有一紅球的機率
 

   馬上演練


16. 設袋中有紅球、白球共15個,由袋中任意取2球,取後再放回,試驗多次後平均每5回有一回2個皆紅球,則袋中紅球、白球各幾個

    <<答案>>8 ,紅7
 

17. 設袋中有紅球、白球共100個,問紅球幾個時,會使袋中取出3球為同色球之機率最小

    <<答案>> (1) 50
 

18. 10n支籤中,恰有n枝為奬籤

(1)由其中任意取出10枝,求恰含一枝奬籤的機率

(2)求的值

    <<答案>>(2)
 

====== 例題8==================================================

有編號1,2,3,...9的9張卡片,任取5張,求下列之機率:

(1)   編號1,.2和3的卡片均被取到

(2)   拿到編號1,2,3其中一張卡片

(3)   拿到5張卡片中最大的號碼為8
 

   馬上演練


19.有編號1到5的卡片,每一種號碼各5張,任取出3張,則:

 (1)3張均為同號碼的機率  (2) 3張均為奇數的機率

    <<答案>> (1)  (2)

20.袋中有9張卡片,分別記為1,2,..0的數字,從中任取出2張,求下列之機率:

  (1)數字和為奇數  (2)數字積為偶數  (3)數字積為完全平方數或為完全立方數

  <<答案>> (1)  (2)  (3)

====== 例題9==================================================
 

袋中有1,2,3,..,9號球各一個,任意取出三球,求下列機率:

(1)    三球號連續 (2)三球中恰有二球為連號  (3) 三球中任何二球均不連號

 

   馬上演練


21.有1號,2號,...,10號,十張大小相同的紙牌,放入一袋中,由其中任取出2張,求下列事件的機率:

(1)數目差1  (2)兩張牌數目皆不超過5  (3) 兩張牌均為偶數

(4) 至少有一張牌為1號或5號 (5)兩張牌數目差不超過2

  <<答案>> (1)  (2)  (3)  (4)

22.某班50人,每一人身高體重均不相同,由其中任選出5人,求:

(1)班上最高與次高的同學被叫出的機率

(2)被叫出的5人中,第三位同學為全班第5高的機率

(3)班上最胖的4人中有3人被叫出的機率

  <<答案>> (1)  (2)  (3)  

====== 例題10==================================================
 

(1)   袋中有4紅,3白,2黑球,一次取出三球連取兩次,球放回,求第一次取出的三球同色且第二次取出的三球異色的機率

(2)   在上題中,若取出的球不放回,則機率又為何

 

   馬上演練


23.袋中有紅、黃、藍、白色球各一個,每次取出一球,取出後放回袋中連取四次,求下列各事件的機率

A:若四球異色,則P(A)=____

B:若四球中恰含三色,則P(B)=___

C:若四球中恰含二色,則P(C)=___

D:若四球同色,則P(D)=____

  <<答案>>(1)  (2)  (3)  (4)

24. (1)袋中有8紅球、5白球,每次取出一球,取出後不放回,求白球先取完的機率

  (2)又如袋中有4紅球、3白球、5黑球,則紅球先取完的機率

  <<答案>> (1)  (2)

 

====== 例題1 1==================================================
有A,B個袋子,在A中放入2個紅球,B中放入2個白球,分別自A,B兩個袋內任意取出一個球,交換後,再放袋中.如此交換了3次之後,設在A中紅球的個數為X,求X=0,1,2的機率各為多少
 

   馬上演練


25.設甲袋有4紅球,1白球,乙袋有6紅球,若從甲袋中取3球放入乙袋中,再從乙袋中取3球放入甲袋中,則白球留在甲袋的機率為_____

  <<答案>> (1)  

26.甲袋有白球4個,紅球5個;乙袋中有白球3個,黑球2個;今從甲袋中取屾球放入乙袋,而後從乙依中取出2球放回甲袋,則甲袋中的白球個數不變的機率為何

  <<答案>> (1)  

27.甲、乙二人交互從貯有3白球和2紅球的袋中取出一球,以先得紅球者為勝,並約定由甲先取:

 (1)若每次取出的球必須放回袋中,分別求甲、乙獲勝的機率為何

  (2) 若每次取出的球不放回袋中,分別求甲、乙獲勝的機率為何

  <<答案>> (1)  (2)

題型二  排列組合與機率

====== 例題1 2==================================================

任意12人中:(1) 沒有二人  (2)恰好二人  (3)至少有二人  (4)至少三人

在同一月份出生之機率分別為何?

 

   馬上演練


28.若不計年齡,設N個人中,至少有二人在同一月出生機率P(N),則:

  (1)P(2)    (2) P(3)     (3)P(4)     (4)P(5)     (5)P(13)

  <<答案>> 略

29.設一年是365天,且每人生於某月某日之機會相等,則50人中,至少有2人生日同天之機率?

   <<答案>> 略

30.某婦產科醫院在一星期內有五個嬰兒出生,這五個嬰兒中沒有兩個在同一天出生的機率為____

  <<答案>> 

31.求4人無2人為一月生的機率?

  <<答案>> 
 

====== 例題1 3==================================================

5個人在一起猜拳,只能出剪刀石頭,求:

 (1)   只有一個人猜贏的機率  (2) 只有二個人猜贏的機率

 (2)   只有三個人猜贏的機率  (4)只有四個人猜贏的機率 (5) 沒有人猜贏的機率

 

   馬上演練


32.甲乙丙三人猜拳,各出
剪刀,石頭,布三者中之一。今三人同時猜一拳。

   (1)求不[能決定勝負的機率。    (2)只有甲獲勝的機率。

   <<答案>>   (1)   (2)

33.四人同時玩剪刀,石頭,布的遊戲一次,試求:

  (1)恰有一人得勝的機率  (2) 恰有二人得勝的機率

     (3)恰有三人得勝的機率  (4) 沒人得勝的機率

  <<答案>>  (1)   (2)   (3)   (4)

 

====== 例題14==================================================

    有5雙不同種類的筷子,現在任意從中一次取出2枝來分配給5個家人,求下列的機率:

(1)    第一個人就拿到成雙的筷子  (2)5個人都拿到成雙的筷子的機率

 

   馬上演練


34.大小不同的鞋子10雙,置於一箱中,任取其中四雙,求:

    (1)4雙均不成雙   (2)恰有一雙之機率

  <<答案>> (1)   (2)

35.由六對夫婦中任意選出四人,此四人為:

 (1)兩對夫婦的機率為_______     (1)恰好兩人為夫婦的機率為_______

 (3)不含夫婦的機率為_______

36.6對夫婦相處一室,由其中任找出2人求:

 (1)他們是夫婦   (2)一男一女的機率

37.依上題,如將此12人分成6對,求:

   (1)各對均為夫婦的機率    (2)各對均為一男一女的機率

  <<答案>> (1)   (2)

38.將12人平分為三隊,其中甲乙二人不同的隊的機率為_______

   <<答案>>  (1)

====== 例題15==================================================

設從一副52張撲克牌中任取二張,若每一張被抽中的機會相等,試求:

  (1)同為K的機率    (2)異花色的機率

   (3)同花色的機率     (4)至少有一張黑桃之機率

 

   馬上演練


39.自一副撲克牌任取13張,若每張被取出機率相等,則:

  (1)13張牌中,至少有一張黑桃之機率  (2) 至少有12張黑桃之機率

    (3) 至少有一張黑桃之或至少有一張紅桃之機率

40.同花13張撲克牌中,若把 J , Q , K , A 等四張用字母表出的稱為大牌 ,則13張中,任抽3張其中恰含2張大牌的機率為何?(設每一張牌被抽中之機
率均等)

  <<答案>>  (1)

41.從一副撲克牌中,任取5張牌,設每張被取到之機會均等,則:

 (1)5張牌成為富而毫斯(Full House),即點數形如(x , , x , y , y , y )之機率

  (2) 5張牌成為兩對(Two Pairs),即點數形如(x , x , y , y , z )之機率

  <<答案>>   (1) (2)

====== 例題16==================================================

一袋中裝有3個白球、7個紅球,從此袋中順取5個排成一列,則顏色為交互異色之機率?!
 

   馬上演練


42.甲、乙、丙、丁、.....等八人排成一列,如:

  (1) 甲,乙,丙須在一起  (2) 甲,乙,丙中任二人不相鄰,問機率各為何

  <<答案>>   (1) (2)

43.11本書中有5本為數學書,4本為物理書,2本為化學書,今將此11本書任意排列於一書架上,求同類(科)   
  書必須排在一起的機率

   <<答案>>   (1) 

44. 甲、乙、丙、丁、.....等七人排成一列:

  (1)甲排在乙之左方  (2)甲排在乙之左,且甲排於丙之右

    (3)甲排在乙之左或甲排在丙之左,求其機率(皆不相鄰)

   <<答案>>   (1) (2)  (3)

45. 甲、乙、丙、丁、戊等5人各取出一張名片,將這些名片放入一袋中,每人任取一張:

  (1)各人得到自己名片  (2)各人均不得自己名牌的機率

  (3)恰有二人得自己名片的機率

   <<答案>>   (1) (2)  (3)

46.(1)將先發制人後發制於人任意重新排列,求頭一個字為的機率

    (2)將人人為我,我為人人任意排成一排,求我字不相鄰,且為字亦不相鄰之機率

 (3)將probability的十一個字母任意排成一列時,相同字母不相鄰的機率為:

  <<答案>>  (1) (2)  (3)

47.設甲、乙、丙三人同住一寢室,每天抽籤決定一人擔任打掃工作,求六天中,甲、乙、丙三人恰好抽中兩天打掃的機率

  <<答案>>   (1)

====== 例題17==================================================

1 , 2 , 3..., 9 等九個自然數中,任取二相異數,則:

(1)   其商為整數或為有限小數之機率為____

(2)   其商為整數或為有限小數之等商數總和為____

   馬上演練

48. 由1 , 2 , 3...,2 n + 1共2 n + 1個自然數中,任意取出相異三數,此三數可排成等差數列的機率為_____

     <<答案>>   (1)

49.(1)自1到的自然數中任取一數,求取到之數的數字和為6的機率

     (2)自1到的自然數中任取一數,求該數之數字和為11的機率

    <<答案>>    (1) (2)

50.任作一四位正整數,求含有數字7的機率

      <<答案>>  (1) 

====== 例題18==================================================

,求直線為圓相交之機率

   馬上演練

51.設,如x + y = 1000,求之機率

     <<答案>>   (1) 

52.設A = { -3 , -2 , -1 , 1 , 2 , 3}, B = { -2 , -1 , 1 , 2 }如,試求之根為實數之機率

    <<答案>>     (1)

 

53.設,如11 < n < 61,求方程式之根為整數之機率

  <<答案>>   (1) 

 

54.如A={1, 2 , 3 , 5 , 9 },自A中任取三相異數a , b , c,求使之機率

  <<答案>>   (1) 

55.擲一骰子兩次,第一次a點、第二次b點,今以a , b 作一個二次方程式,求:

(1)此方程式有實根之機率    (2) 此方程式有等根之機率
(3) 此方程式有虛根之機率

  <<答案>>  (1) (2)  (3)

55.擲一公正骰子兩次,第一次a點、第二次b點,則方程式:

 (1)有無限多組解之機率   (2)無解的機率  (2)恰有一解的機率

  <<答案>>   (1) 0 (2)  (3)

====== 例題19==================================================

某君與女友相約於下午7點到8點間在公園門口見面,依下列三種情況分別求二人相遇之機率

(1)若約定先到者等15分鍾,對方還沒來便離開
 (2)若某君先到者等15分鍾,女友先到則不等
 (3) 若某君先到者等20分鍾,女友先到則可等10分鍾