整數

 

主題一 整數

1整數的基本性質

1運算:設abc均為整數

(1).封閉性:a + ba – ba x b 均為整數

  (2).交換律:a + b = b + a a x b = b x a

  (3).結合律:(a + b ) + c = a + ( b + c )      (a x b ) x c = a x (b x c )

  (4).分配律:a x (b + c ) = ab + ac

  (5).消去律:若a + c = b + c,則 a = b ,若ac = bc,則a = b ,但

2.大小:設abc均為整數

(1)三一律:a > ba = ba < c 三式中恰有一式成立

(2)遞移律:若a > bb > c,則a > c,若a < b b < c,則 a < c

(3)加法律:

(4)承法律:若c > 0,則  ,若c < 0,則

3.整數的離散性::

 ,若:,則      

4.除法原理:

 ,則必存在唯一的一組整數qr,使得         (q    r    )

2.因數與倍數

  1.因數與倍數

    ,若存在一數,使得,則稱ba    ab     ,記作    

    (1)c|bb|a,則       (2) c|ac|b,且,則      

  2.質數

    p為大於1之正整數,若p只有1p二個正因數,則稱p是質數。

  3.標準分解式

    n正整數,為相異的質數,為正整數,則,稱為n         

   (1)n的正因個數                

   (2)n的所有正因數和 =                       

   (3)n的所有正因數之乘積                

   (4)11的倍數從個位數起,(奇數位數字和偶數位數學字和) = 11的倍數

  4.倍數判定法則

   (1)()的倍數末k位為()的倍數

   (2)3(9)的倍數數字和為3(9)

   (3)7(13)的倍數從個位數起向左每三位為一節,(奇數節之和)—(偶數節之和) = 7 13的倍數

   (4)11的倍數從個數位數起,(奇數位數和偶數位數字和) = 11的倍數

3.G.C.DL.C.M

   1.最大公因數:

    ,若dab之公因數中最大的一個,則稱dab的最大公因數(簡稱G.C.D)

記作(ab) = d

<定理> 輾轉相除法原理

       ,且,若 a = bq + r,其中,則

2.最小公倍數:

  ,若cab之正公倍數中最小的一個,則稱cab的最小公倍數(簡稱L.C.M),記作

  [ab] = c

    <定理>  (1),則(ab) x [ab] =     

            (2)    

題型一 整數的基本性質

ex1

,則(abc)之解共有____

doing

1.滿足之整數abc共有幾組解

<<>>  8

ex2.

xyz之值

doing

2.求滿足xy = 6 ( y – x )之整數xy____組解。

<<>>  18

3.求滿足的整數xy之解為何?

<<>>  (28)(33)(52)(1-2)(-51)

4.xyz為自然數且x + y + z = xyz,求xyz共有____組解

<<>> 10

5.xyz為自然數且x + y + z = xyz,求xyz共有____組解

<<>>  6

6.滿足 x + y < x y < x + y +4 之自然數xy共有幾組

<<>> 7

ex3

xy為整數,則滿足(xy)=______

doing

7.之整數解有_____

<<>> 12

ex4.

n為自然數且亦為自然數,則n=?

doing

8. (1)x為自然數且亦為自然數,求x

  (2)x為自然數且亦為自然數,求x

<<>>  (1) 11  (2) 6 or 30

題型二  因數性質

ex5.

(1)   a為整數,若,求a之值

(2)   xy為整數,且皆非11之倍數,若9x + 5y10x+ky皆為11之倍數,又,則k有幾個

doing

9. (1)mn為正整數,m > 1,若,求m

  (2)a為正整數,若,求a

<<>>  (1) m = 13    (2) a = 2

10.(1)p為正整數,且,則p之最大值為何

   (2)試證,甯偃斨略擘

   (3)x為正整數,若,且,求x之值

   (4),求x之值

<<>>  (1) 5   (3) x = 2 or 4   (4) x = -2-10

ex6.

504

(1)    正因數有____個,總和為_____

(2)    正因數中為完全平方數者有_____個,總和為______

(3)    正因數中為3之倍數者有____個,總和為_____

(4)    正因數的乘積為____(以標準分解式表之)

DOING

11.540而言

  (1) 正因數有____個,真因數有_____個,質因數有____個,因數有____

  (2) 所有正因數之和為_____,所有因數之和為____

  (3) 所有正因數之積為____

<<>>  (1)2422348   (2) 16800   (3)

12.

  (1)試求n之正因數中為完全平方數者有幾個?!又其和為何

  (2)試求n之正因數中為完全立方數者有幾個?!又其和為何

<<>>  (1) 48125894860   (2) 1832195044

13.a解有幾個

<<>>  32

14.b = 10800之正因數共有n個,將它們由小而大排列出為,則,又這n個數中若把3的倍數拿掉,

  剩下的共____個。

<<>>  54005

15.324000之之正因數中,為9之倍數,但不為5之倍數者有幾個?!

<<>>  18

ex7.

20個正因數的最小自然數為何

doing

16.不大於1000而有10個正因數的自然數有幾個?!其中最大者為?最小者為?
<<>>  22
97648

17.求最小自然數xy,使

<<>> x = 7350y = 210

18.,且xy = 3600,則下列何者為真

(1)共有45組解  (2)偶數解有22  (3)x > y22 (4)xy互質9  (5)xy為完全平方者有8

<<>>  (1) (3)

19.n為正整數,若亦為正整數,求n之最小值

<<>>  770

ex8

(1)   100!之質因數分解為,求abc

(2)   p為整數且p不為10之倍數,求k

doing

20. (1)k為正整數,且,試求k之最大值

   (2)n為正整數,若100!之因數,但不為100!之因數,試求值

<<>>  (1) 22  (2) 48

21.,且,求n之最大值

題型三 質數問題

ex9

質數判定法則

(1)    a為大於1的正整數,試證:

a不是質數,則a必有小於或等於的因數

(2)    277是不是一個質數?!為什麼

doing

22.下列何者為質數?!  (1) 157  (2) 403  (3) 361  (4) 667  (5) 271

<<>>  (1) (5)

ex10.

n為整數,為質數,求n及此質數

doing

23.n為整數,為質數,求n

<<>> 

24.,試證若為質數,則n為質數

題型四 倍數問題

ex11.

七位數26ab60799之倍數,求ab之值

doing

25. (1)七位數23ab42199的倍數,求ab之值

   (2)六位數12a49b36的倍數,求ab之值

   (3)若七位數3a4589b55的倍數,求ab之值

<<>>  (1) a = 2b = 4  (2) (ab) = (02) or (92) or (56)   (3) (ab) = (10) or (65)

26.若七位數43a35b212的倍數,試求

   (1)b的可能值   (2) a + b的可能值   (3)此種七位數共幾個

<<>>  (1) 13579   (2) 147101316   (3) 16

ex12

xy為整數,為2 x + y3的倍數,試證9之倍數

doing

27.x為正奇數,試證

  (1) 32之倍數     (2)琣釵]數16

28.x為不大於之正整數,若x12的倍數,且為正整數,問此種x有幾個

<<>>  16

題型五 G.C.DL.C.M

ex13

(1),試證(ab) = (br)     (2) (581460181870) = ?

doing

29.(1)(417615661856)   (2) [1088478]

<<>>  (1) 58   (2) 9828

ex14.

(1)   [ab] = 54a + b = 45,求ab

(2)   ,求ab

doing

30. a > b,若a + b = 1092[ab] = 3528,求ab

<<>>  a = 588b = 504

31. a > b,若a b = 1944(ab) = 18,求ab

<<>>  a = 108b = 18  or  a = 54b = 36

32.,若a – b = 34[ ab ] = 255,求ab

<<>>  a = 85b = 51

33. ab = 4056[ab] = 312,則

  (1)a有二解   (2)a有四解   (3) | a – b |可為99  (4) | a — b |可為65   (5) a + b可為99

34.( ab ) + [ ab ] = 8,求ab之值

<<>>  10

35.,若(ab) = 8,求ab之值

<<>>  a = 24b = 16

36.[ab] = 1326,若,求ab之值

<<>>  a = 78b = 221

ex15.

 9 a + 4 b – 5 c = 3 a – 1 7 b + 1 5 c = 6 a + 1 1 b – 9 c ( abc) + [abc] = 847,求ab

c之值

doing

37.6 x + 2 1 y – 20 z = 0 3 x – 7x + 4 z = 0,且 (xyz) = 25,求xyz之值

<<>>  x = 200y = 300z = 375

38.,滿足a + 3b = 2c[ abc ] = 300abc 之值

<<>>  a = 20b = 60c = 100

39.,若5a – 9b +4c = 010a + 3b -6c = 0(abc) + [ab + c] = 620,求abc之值

<<>>  a = 120b = 200c = 300

40.  (ab) = 5( bc ) = 2(ca ) = 3[ab] = 30[bc] = 120[ca] = 120,則a + b + c =?

<<>>  49

ex16.

,且,求證 (xy) = ( 3x + 4y2x + 3y )

doing

41. (1),且(xy) = d,則 (x + yx - y) = ____

   (2),且(xy) = d,則 (2x + 3y3x – 5y) = ____

<<>>  (1) d or 2d    (2) d or 19d

42,若 (ab) = 1,求證 (a + bab) = 1

43.,求[9n + n6n + 5] = ____

<<>>

ex17

設自然數n滿足(n72) = 1,這種數共有幾個?它他們的和為

doing

44.11000的自然數中刪去3的倍數,刪去5的倍數,還剩下____個數

<<>>  533

45.小於1000且與105互質之自然數個數

<<>>  457

46. (1)不大於720又與730互質之自然數共有___

   (2)不大於720,它是3的倍數,但不是2的倍數及5的倍數共有____

<<>>   (1) 192   (2) 96

47.,則x____個解

<<>>>  46

48.(x120) = 6,則x有幾個?!(y120) |3,則y有幾個

<<>>  848

題型六 餘數問題

ex18

(1)   n為三位數,以n596076189691所得之餘數分別為,但,則n=_____

(2)   一自然數n7除之餘5,以6除之餘1,以5除之餘2,則此最小自然數n=___,又若,n值之和為____

doing

49.(-71)除以11的商數為____,餘數為_____

<<>>  -76

50.(1)208除以x16880除以x22,則x = ?

   (2)一正整數分別除49422433197所得之餘數均為17,求此正整數?

<<>>  (1) 66 or 33   (2) 318 or 159 or 106 or 53

51.一自然數n579的餘數勻為4,且900 < n < 1000,求n?

<<>>   n = 949

52.設自然數n24262830除之所得之餘數分別為18202224,則最小的n值為?!

<<>>  10914

53.三位數中除以31,除以54,除以73者,  (1)共有__   (2)總和為____

<<>> (1) 8   (2) 4532

54.400 < n < 700,己知n除以74,除以53,除以32,則n之最小為____,這樣的n共有____

<<>>  4736

55.0 < n < 105,若n357除之,餘數分別為abc試證70a + 21b + 15c105除之餘數為n

ex19.

試證 (1) 乘開後的個位數字   (2) 43除的餘數

doing

56. (1)如果正整數ab除以7的餘數分別為25,則a x b除以7之餘數____

   (2)7除之餘數為     (3)除以6之餘數為____

57.a除以123b除以127c除以128,則

  (1)a + b + c除以12之餘數為_____     (2)除以12之餘數為____  

  (3) 除以12之餘數為     (4)除以12之餘數為____

<<>>  (1) 6   (2) 2   (3) 11  (4) 0