重點八 複數的極式與棲美弗定理

1.高斯平面

  (1) ,把對應到坐標平面上的點(xy),則複數與平面的點之間有11的對應

  (2)P的複數坐標為ZO為原點,則稱為Z的絕對值,記為|Z|,即

2.絕對值的性質

  (1)Z之共軛複數,則

      

  (2) 表對應複數之兩點   (3)      (4)

  (5) ,其中    (6))  (三角不等式)

3.複數的極式:

    ,令,取 ,則稱為複數Z的極式  其中稱為Z的一個幅角,以=arg(Z)表示 若取,則稱此z的主幅角,以=Arg(Z)表示

(1)    

(2)   則有

(3)   ,將點P繞原點O旋轉角得點

4.複數的乘方與開方

  (1)棣美弗定理:n為整數,則

  (2) ,稱n個根為的n個根為的n次方根,且n個根為 其中,而

  (3) n個根為

5.w的性質

   的特性:

  (1)

  (2)1n次方根為1

  (3)

  (5) n個根,皆在以原點0為圓心,為半徑的圓上.,則其n根中,主幅角最小者為,其他各根則以逆時針旋轉方向,幅角每增加地分佈在此圓上.,則    n個根,為此圓的一內接正n邊形的n個頂點

精選範例

ex1.

a > 0,若,求a?

doing

1.試求下列之絕對值: (1)   (2)

<<>> 

2. (1),求a=____   (2) ,又a=_____

<<>>  

3.,試求

<<>>

4.

<<>>

5.n為正整數

 (1)試求   (2) 試求   (3) 試求

<<>>

ex2.

為複數,且,試求

doing

6.(1) 為複數,   

 (2)為複數,,求之值____

<<>>  (1) 1  (2) -15

7.(1)已知,則的實部為

   

  (2),若,求之值

<<>>  (1) 2

8.zc為複數,,則之值

<<>> 1

9.c為複數,令,試証:|z|>1,則的虛部必小於0

<<>>

10.試證:

<<>

ex3.

(1)   試在複數平面上作出下列方程式的圖。

(2)   ,若為最小,則此時a=____

doing

11.作出下列各圖

 (1)|z-1|=1  (2)

<<>>

12.z為複數,,則的最大值為____

<<>>

13.(1),若欲使之值最小,求x

   (2) t為實數,試求t值,使的值最小,並求此最小值

<<>> (1)  (2)t = 3,最小值

ex4.

(1)   之值

 (2) 中,己知,判斷形狀

doing

14.試將下列各複數化為極式,並求其主幅角

<<>>(

15.,試求

<<>>

16.試求下列各式之值

    

  (3)

 <<>>

17. ,試求之值

<<>>

18. ,若,則

<<>>

19. ,若z之一幅角,,試求

<<>>

20. 中,若為實數,則____三角形

<<>> 直角三角形

21.,試求之值

<<>>

22.(1),則

   (2)一凸五邊形,其五內角度量依次為,試求 之值

   (3)之內角的度量,試求之值

<<>> (1)  i  (2) – i  (3) -1

ex5.

,試將化成極式(取主幅角)

doing

23.,試將化成極式____

<<>>  

24.(1),試將化成極式(取主幅角)

   (2) ,試將化成極式(取主幅角)

   (3) ,試求的幅角,其中

   (4),求|z|=____Arg(z)=____

<<>>

EX6.

的一幅角為,則z = ____

doing

25.,求

<<>> 1

26.,其中,若之主幅角為,則a=___b=_____

<<>>

27.z為複數且,求的值

<<>>

ex7.

,若,且,試求的面積

doing

28.於複數平面上為正三角形,其中O(0).A(3+4i)試求頂點B對應的複數。

<<>>

29.若點P(-125)在角的終邊上,則數對,令將線段不變其長度,繞原點0逆時針方向旋轉而得線段,設Q點坐標為,其中abcd均為有理數,則a+b+c+d=_____

<<>>

30.在複數平面上  

  (1)如右圖,為正方形,A(2+i)試求BC二頂點對應的複數。

  (2)原點O為正方形ABCD之中心,A(2+i)Aà BàCàD依逆時針旋轉方向,求BCD對應的複數

<<>>

31. 滿足,令,試求三邊長度之比

<<>>

32.中,O為原點,若P之坐標為(21),則滿足條件Q點之坐標為____,但PQx軸之同側。

<<>>

33. ,若對應之點分別為,試求

   (1) 的面積

<<>>

34.為複數,,且,令,試判定的形狀?

<<>> 等腰,直角三角形

35.,且,求各內角度量?

<<>>

36. ,試求之值

<<> 7

ex8.

,若 

  試求

doing

37. ,若,試求之值

<<>>  10

38.三個複數,若,則之值為____

<<>>

ex9.

試利用棣美弗定理導出下列二式:

 

doing

39.試利用棣美弗導出下列二式

 

<<>

40.試証 (n為整數)琣言

<<>>

41.,求滿足等式n___

<<>>  8

42. ,已知之因式,試求ab

<<>> a = -1b = -1

43.化簡

<<>> i

ex10.

(1)求值:    (2)求使成立的最小自然數n

doing

44.(1)之值   (2)之值  (3)的實數部分

<<>>

45.,試求之值

<<>> i

46.(1),試求之值   (2)化簡

<<>>

47.(1),求最小的正整數n,使為實數

  (2)求使成立的最小自然數n

  (3) ,求一切

<<>>  (1)(2) 12  (3)

48. ,試於複數平面上,下列各複數的對應點,分別在那一象限

<<>> (1)(2)

49.,求實數ab

<<>> a = 216b = 0

ex11.

(1)   Z為一複數,為其共軛複數,若|Z|=1,求証

(2)   ,求之值

DOING

50.(1)試將化成極式   (2)之值  

 (3) 之值   (4) 之值

<<>>   (2) -1  (3) 1  (4)

EX12.

n自然數,若 (為已知角),試証 

doing

51.,則

<<>>  2

52.,求的值

<<>>  1

53.,求的值

<<>>

ex13.

的六次方根,並求它們在複數平面上所連成六邊形的面積

doing

54.(1)-i的立方根   (2)

<<>> (1)

55.(1)解方程式   (2)

<<>>

56.(1)   (2),求z

<<>>

57.(1)試求8i的立方根?並求它們在複數平面上所連三角形的面積及周長

  (2)3+4i4次方根在複數平面上所四邊形的面積

<<>>  

58.(1)解方程式   (2)

<<>>

59. ,已知有一根為,則a=____

<<>>

ex14.

 (1)- 8 – 6 i的平方根     (2)解二次方程式的二根

doing

60.試求3-4i的平方根

<<>> 2 - i or -2 + i

61.解下列方程式 <<>>

    

ex15.

在複數平面上,以方程式10個虛根為頂點連成的10邊形面積為何

doing

62.

<<>>  ,其中

63.在複數平面上描出方程式的根所代表的點,並求出此五邊形的面積

<<>>

64.滿足諸根在複數平面上所對應點決定的凸多邊形為___邊形,又面積為

<<>> ;

ex16.

,試求

  (1)    (2)    (3)

  (4)   (5)   (6)

doing

65.(1),試求之值

  (2),試求之值

<<>> 

66. ,試求 之值

<<>> (1) 0  (2) -1

67.p1的五次方虛根,試求下列各式之值:

 

<<>>  (1) -1  (2) 5  (3) 11  (4) 2  (5) 0  (6) 2  (7)

68. ,方程式2n+1個相異根為1

 

<<>>  (1) (3) (4) (5)

69.,則

<<>> -19

70.w之一虛根,若為實數,試以之值

<<>>

71.在複數平面上之對應點為,則

<<>>  11

72.

  (1)証明

  (2)利用(1)計算之值

<<>>  

73.設方程式之一虛根為w

  (1)試求以為二根之一元二次方程式

  (2)利用(1)

<<>>

74.給予複數的共軛複數,則

 

<<>>  (1)  (2)  (5)

ex17.

 ,試証

 

doing

75.(複選),令,又令,則有

  (1) R = 0  (2) R < 0  (3) T = 0  (4) T < 2  (5) R = T

<<>>  (1)  (3)  (4)  (5)

76.n為正整數,,求之值

<<>>

77.之值

<<>>

78. 試求

  (1)  (2) 之值

<<>>  (1) -1  (2) 0

79. ,試求下列各式之值:

  

<<>>  (1) 0  (2) 0

80.已知,求証

 

<<>>

81.n為大於1的整數,若試求之值

<<>>