1-2 獨立事件

1. AB為樣本空間S的任二事件,若則稱AB為獨立事件,否則稱為S的相關事件。

2. ABC為樣本空間S的任三事件,若

 

   則稱ABC為獨立事件

3.AB為獨立事件。則A,均為獨立事件

4.重複試驗:

  一試驗可以重複進行,每次試驗互不影響,而只有成功與失敗兩種結果,設於每次試驗中成功之機率為qp + q = 1。則於n次試驗:

(1)   n次均成功之機率為

(2)   n次均失敗之機率為

(3)   至少成功一次之機率為1-

(4)   恰成功r次之機率為

ex1.

A表一家庭中有男孩亦有女孩的事件,B表至多有一男孩的事件。

(1)   當家庭有2個小孩,AB為獨立或相依?

(2)   當家庭有3個小孩,AB為獨立或相依?

(3)   當家庭有4個小孩,AB為獨立或相依?

<<>>  (1) 相依  (2) 獨立   (3) 相依

doing

1.      投擲一骰子二次,如A 表第一次擲到3點的事件,B表第二次擲到5點的事件,求證AB互為獨立事件。

2.      擲出一粒骰子,A表出現偶數點,B表出現3點或6點的事件,試問AB是否獨立

<<>>

3.      擲一公正的硬幣兩次

(1)   A表示第一次出現正面的事件,B表示第二次出現正面的事件,則AB是否獨立事件

(2)   A表示至多出現一次正面的事件,B表示正反面各出現一次的事件,則AB是否獨立事件

<<>>  (1)    (2)

4.      袋中有4個球,編號14,今探求一球,A表取到的是1號或2號,B1號或3號,C1號或4號,試問

(1) ABC是否兩兩獨立   (2) ABC是否獨立

5. 袋中有4個白球,2個黑球,從袋中取出一個球,放入後再取出一個,設A表示第一抽出白球的事件,B表示第二次抽出黑球的事件,則AB是否獨立事件

<<>.

ex2.

123…100中,任取出一數,令ABC順次表取出數為2的倍數,5的倍數,7的倍數的事件,試問下列何者為獨立事件

  (A) AB   (B) AC  (C) BC  (D) ABC

<<>> AB

doing

6.若將例2中的123….100改為123…..140,則ABC獨立,證明之

7.袋中有n個球,編號1,從袋中任取出一球,ABC依序表示球號為2的倍數,3的倍數,5的倍數的事件,若ABC為獨立事件,則n的值可為_____

<<>> 12306090

8.袋中有120個相同的球,編為1120,探取一次,設取出球號為2的倍數的事件為A3的倍數為B5的倍數為C,求證ABC為獨立事件

ex3.

ABC為三獨立事件,若,求

<<>>

doing

9.AB為某實驗可能發生之二事件,若

 試問:

  (1)x為何值時,AB兩事件為互斥事件。

  (2)x為何值時,A B兩事件為獨立事件

  (3),則x值為何

<<>>

10.ABC為三獨立事件,且,求下列各數:

<<>>

11.AB為獨立事件,已知,則 P(B)=_____

<<>>  0.6

12.ABC互為獨立事件,,求| P ( B ) – P ( C ) |

<<>>

ex4.

甲生能解之機率為,乙生能解題之機率為,丙生為,丁生為

 (1)甲、乙二生解一組,解出之機率為何

 (2)甲、乙、丙合解一題,解出之機率為何

 (3)甲、乙、二人合解一題,丙、丁二人合解一題,討論其情形

doing

13.設甲、乙、丙三射手同射一靶,每人一發,設甲、乙、丙三人的射擊命中率各為0.50.60.8,並設各人命中靶面之事件為獨立事件。

  (1) 求沒有人命中的機率

  (2)問靶面恰中一發的機率

  (3)若靶面恰中一發,求由甲命中的機率

<<>  (1) 0.04   (2) 0.26 

14.某生應試,平均每3題可對2題,令有試題5題,以答對3題為及格,某生應試,求獲及格的機率

<<>>

15.設三人譯出密碼的機率各為,設三人合譯一密碼,則能譯出8之機率為何(如各人譯出互不影響

<<>>  

16.甲,乙,丙三人,每人命中率各為,彼此互不影響,令有一鳥飛近於三人射程內,三人同時各發一槍,求此鳥至少中二彈的機率

<<>>
17.
一大廈有二座電梯,其一停留一樓的時間20%,另一留在一樓的時間佔30%(設兩電梯操作各自獨立),則二者皆無一留在一樓的機率為何

<<>>

18.algebraprobability二字中分別任取一字,求此二字母相同的機率

<<>>

ex5.

設每5張奬券有3張會中奬,則最少須買幾張,才使其中至少有一張會中奬的機率不小於0.9999

<<>>  11

doing

19.擲一粒公正的骰子,問須連擲幾次,其出現6點的機率達到

<<>>  7

20.甲、乙、丙、三人射擊中靶之機會各為,求甲、乙各射一發,而丙至少須獲幾發,使命中率大於0.999

<<>> 4

ex6.

(1)   投擲一骰八次,求恰出現二次么,三次2點的機率

(2)   一顆骰子擲10次時,求點數1恰出現5次,其餘皆為相異點數的機率

(3)   一顆骰子擲5次時,求點數1連續出現3次的機率

><<>   

doing

21.某人平均每10發可射中7發,也就是命中率為0.7,今射擊4

 (1)4次始射中的機率為____

 (2)恰射中3次的機率為______

 (3)至少射中3次的機率為____

 (3)4次為射中的3次中的最後一次,其機率為_____

<<>>  (1) 0.0189   (2) 0.4116   (3) 0.6567   (4) 0.3087

ex22.

試驗一次時成功的機率為0.7,若連續試驗4次,則在第四次始成功的機率______

<<>>  0.0189

23.有是非題6題,以OX答之。今任意作答,求

  (1) 恰答對2題的機率   (2) 至少答對3題的機率

<<>>

24.n個骰子同時擲出,求證出現奇數個么的機率的

25.設某一個地區80歲之老人能活到90歲的之機率為10%,該地方有580歲之老人,則:

  (1) 恰有2位能活到90歲之機率   (2) 至少有2位能活到90歲之機率

<<>>  

26.投擲一骰子八次,求恰有四次么點,四次相異點的機率

<<>>

27.於某一季節裡任一天下雨之機率,不下兩,令某一星期中,恰有連續3天不下雨之機率

<<>>

ex7.

一點P在直線坐標系的原點,今投一硬幣,若出現正面,則向正的方向移動3個單位;若出現反面,則往負的方向移動2個單位,今連投12次,則最後P落在:

  (1) 坐標為-4之點的機率為_____   (2) 原點的機率為_____

<<>> 

28.如圖,由O點出發投擲一骰子,如點數為16,則向右走一格,若出現其他點數,則向上走一格,求投5次到達P點的機率

   

<<>>

29.甲有m元,乙有n元,兩人賭博,規定丟一枝公正的桐板決定勝負,每丟一次若出現正面,則有甲乙一元,否則乙給甲一元,則乙輸光的機率(即甲全勝的機率)為多少>

<<>>

ex8.

於單獨一次比賽,甲、乙兩人獲勝之機率各為,今連續五回比賽中,最先贏3回者得勝,求甲、乙得勝之機率

<<>>    

doing

30.(1)若右圖:一彈球自P打入,直往下掉,從Q滾出的機率為_____

        

   (2)如右圖:一彈球自P打入,從ABCD滾出的機率為_______________________

  

<<>> 

ex9.

(1)   甲乙二人交互從貯有3白球,2白球的袋中取出一球,取出後放回袋中,以先得紅球者為勝,甲先取,求各人獲勝的機率

(2)   若取出的球不放回袋中,則各人獲勝的機率又為何

<><<

doing

31.(1)袋中有三紅球,三白球,甲、乙二人輪流探取,每次取一球不放回,誰先取得白球為獲勝,如果甲先開始,甲、乙二人獲勝的機率各為多少

  (2)如每次取出之球橢即放回,則二人獲勝的機率又各為多少

<<>>

32.(1)甲、乙二人交互投擲一骰,以先擲出6點者為勝,今甲先擲,求甲獲勝的機率。

   (2)甲、乙、丙三人輪流擲一硬幣,求甲、乙、丙獲勝機率各為何

<<>>

33.(1)甲乙丙丁四人順序擲一硬幣,以先擲出正面為勝,求各人獲勝的機率

   (2)甲乙丙丁四人各出賭資若干元,順次輪擲一硬幣,先擲出正面者可獲所有的賭注

      若甲出現出資16元,則乙、丙、丁各人應出資才為公平

<<>>  

34.(1)甲、乙二人約定依甲,乙,乙,甲,乙,乙,…..之次序,投擲一骰子,先擲么點者得勝,求甲勝之機率

   (2)甲、乙二人依甲乙乙甲甲乙乙甲,之順序輪擲一骰,以先擲出么者為勝,求各人獲得勝的機率

   (3)袋中有3白球,5黑球,7紅球,甲、乙、丙三人依次輪流自袋中取出一球,取後即放回,今約定白球為甲的幸運球,黑球為乙的幸運球,紅球為丙的幸運球,並約定先得幸運球者為勝,求各人獲勝的機率比

<<>>

ex10.

有街道如右圖(每一小方格皆為正向形),甲自PQ,乙自QP,兩人同時出發,以相同速度,沿最短路線前往;假設在每一分叉路口時,選擇前往方向的機率都相等,問甲,乙二人在路上相遇的機率有多大

 

<<>>

doing

35.右路線圖:甲自AB,乙自BA,二人同時出發,以相同速速前進,在分叉選擇各個前往方向的機率相時,求甲乙二人在途中相遇的機率。

 

<<>>

36.設路線圖中,甲自P,乙自P,二人同時出發,以相同速度前進,在分叉點選擇各個前進方向的機會相等,求甲、乙二人在途中不相遇的機率

  

<<>> 

37.如圖:平野上有AB二市,黑點表示與二市等距離之點,今甲乙二人同時同速自AB出發相向而行,問二人於黑點上相遇的機率如何?但二人行至分點時,選走那一條路的機會相等。

 

<<>> 

38.甲從N向南行,乙從S向北行,兩人速度相同

   

 (1) 如右圖:兩人相遇的機率為_____

 (2) 若同心圓增為n個,則兩人相遇的機率為

<<>> 

ex11.

有一電路上有四個開關ABCD各開關流通的機率分別為,若各開關彼此不互相影響,則電流自L通到R的機率為____

  

<<>>  

doing

39.(1)如圖12345表示電路上的5個開關,電流暢通的機率均為p,設每個開關的功能不影響則電流由LR可暢通之機率為_____

    

  (2)若電路上的每一個繼電器暢通的機率為,則電流從AB暢通的機率為

    ________

    

   (3)電路有ABC三個開關,於各開關電流通的機率如下,求電流由L流到R的機率  

                

開關

A

B

C

機率

 

<<>> 

40.設有三戶連成一棟之房屋,於一年內每戶本身失火之機率為p( 0 < p < 1 ),因鄰戶失火被波及的機率為q ( 0 < a < 1 ),則

  

  (1)第一戶(邊間)在一年內發生火災的機率

  (2)第二戶(中間)在一年內發生火災的機率

  (3)第三戶(邊間)在一年內發生火災的機率

  (4)哪一戶發生火災的機率最大

<<>>

ex12.

紅白二骰子,紅骰擲出a點,白骰擲出b點,二次方程式有二虛根的機率為____

<<>>

doing

41.從集合A = {-3-2-1123}中任意取出一個元素a,再從集合B = {-2-112}中任意取出一個元素b,求二次方程式的根為實數的機率

<<>>

42.,則的根為整數的機率為_______

<<>>